CUANTIFICADORES GENERALIZADOS

“Cuando Frege introdujo la cuantificación, iluminó tres temas: lógica, lenguaje y ontología” (Quine)

“Los cuantificadores no son necesariamente símbolos lógicos. Los cuantificadores denotan familias de conjuntos” (Jon Barwise & Robin Cooper)

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Los Cuantificadores Lógicos
Los cuantificadores lógicos son símbolos que se utilizan para indicar la cantidad de elementos de un conjunto (o dominio del discurso) que tienen una determinada propiedad. Los cuantificadores lógicos tradicionales son:

• El cuantificador universal. Todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad P. La notación es: ∀xP(x) (para todo elemento x, la propiedad P es verdadera). Por ejemplo:
  
  (∀n∈N) n≥1 (todo número natural tiene la propiedad de que es mayor o igual que 1)
  
  
• El cuantificador existencial. Al menos un elemento del conjunto cumple la propiedad P. La notación es: ∃xP(x) (existe un elemento x tal que la propiedad P es verdadera). Por ejemplo:
  
  (∃n∈N) n>5 (existe un número natural que tiene la propiedad de ser mayor que 5)

Observaciones:

• La propiedad P(x) se escribe en formato función, donde P es el nombre de la función, x es el argumento y el resultado de la función es V (si la propiedad es verdadera) o F (si la propiedad es falsa).
  
  
• El cuantificador universal ∀xP(x) indica de forma compacta P(x₁)∧…∧P(x_n), siendo x₁, ... , x_n los elementos del dominio, n el número de elementos del dominio y “∧” el conector lógico “y” (conjunción).
  
  
• El cuantificador existencial ∃xP(x) indica de forma compacta P(x₁)∨…∨P(x_n), siendo x₁, ... , x_n los elementos del dominio, n el número de elementos del dominio y “∨” el conector lógico “o” (disyunción).
  
  
• ∀ y ∃ son cuantificadores duales. Existe una relación entre ambos cuantificadores, que puede deducirse a partir de las dos equivalencias anteriores y las leyes de De Morgan:
  
  
  ∃x P(x) ≡ ¬∀x ¬P(x)
  (existe un x que tiene la propiedad P equivale a que no todo x no tiene la propiedad P)
  
  ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
  (no existe un elemento x que tenga la propiedad P equivale a que ningún x tiene la propiedad P)
  
  
• Las variables de una expresión pueden ser ligadas (a un cuantificador) o libres (no aparecen en ningún cuantificador). Por ejemplo:
  
  
  ∀x (∃y P(x, y)) ∨ Q(u, v)
  (x e y son ligadas, u y v son libres)
  
  Una expresión es cerrada si todas las variables son ligadas, y abierta en el caso contrario.
  
  
• El orden de los cuantificadores es crítico para establecer el significado. Cuando más de una variable está cuantificada, se aplican de dentro hacia fuera (siempre tienen prioridad los más internos). Por ejemplo,
  
  
  ∃y ∀x P(x, y) eq. ∃y [∀x P(x, y)]
  (para algún y se verifica P(x, y) para todo x)
  
  
• La propiedad puede ser simple o compuesta. Por ejemplo, (∃n∈N) (Primo(n) ∧ Par(n)) (existe un número natural que es primo y par).
  
  
• Los cuantificadores restringidos aparecen en expresiones lógicas compuestas. Por ejemplo:
  
  Todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B:
  ∀x (x∈A → x∈B).
  
  Algún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B: ∃x (i>x∈A ∧ x∈B).
  
  
• El conjunto de elementos de un conjunto C que satisface una propiedad P se denomina “conjunto de verdad”. Por ejemplo, en el dominio de los números enteros, si P(x) es (x² = 4), el conjunto de verdad es {−2,−2}, y en el dominio de los números naturales, el conjunto de verdad es {2}.
  
  
• El ámbito de un cuantificador es la parte de una sentencia en la que las variables están ligadas por el cuantificador. Por ejemplo,
  
  
  En ∃x(P(x) ∨ Q(x)), el ámbito de ∃ es (P(x) ∨ Q(x)).
  
  En ∀xP(x) ∨ Q(x), el ámbito de ∀ es P(x).
  
  
• Se cumplen las siguientes propiedades duales distributivas:
  
  
  ∀x(P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x P(x) ∧ ∀x Q(x)
  (∀ se distribuye sobre ∧)
  
  ∃x(P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x P(x) ∨ ∃x Q(x)
  (∃ se distribuye sobre ∨)

Reglas de inferencia

• Instanciación universal.
  De ∀xP(x) se infiere P(a) (siendo a un elemento cualquiera del dominio).
  
  
• Modus Ponens universal.
  De ∀x(P(x) → Q(x)) se infiere P(a) → Q(a)
  
  
• Modus Tollens universal.
  De ∀x(P(x) → Q(x)) se infiere ¬Q(a) → ¬P(a)
  
  
• Silogismo universal.
  De ∀x(P(x) → Q(x)) y ∀x(Q(x) → R(x)) se infiere ∀x(P(x) → R(x))
  
  
• Generalización universal.
  Si P(a) y a es un elemento arbitrario del dominio, se infiere ∀xP(x).
  
  
• Generalización existencial.
  De P(a) se infiere ∃xP(x).
  
  
• Instanciación existencial.
  De ∃xP(x) se infiere P(a) para algún elemento a del dominio.

Limitaciones de los cuantificadores lógicos

• Poder expresivo limitado.
  No pueden definirse otros cuantificadores de la lingüística natural. En lingüística natural hay muchos cuantificadores, en el sentido de cantidades difusas o cualitativas (además de “todo” y “algún”) como: muchos, algunos, unos pocos, bastantes, la mayoría, dos tercios, la mitad, más de la mitad, casi todos, todos excepto n, más de 30, entre 5 y 10, etc.
  
  
• Ausencia de criterio teórico.
  Así como los conectores lógicos tienen una teoría precisa que los fundamenta, con los cuantificadores lógicos no es así, empezando por la propia notación, que no especifica clara y formalmente el ámbito de aplicación de un cuantificador. Tampoco se diferencian claramente las variables ligadas de las libres, ni el ámbito de las ligadas. Todo ello requiere una interpretación externa.
  
  
• No existe una notación canónica.
  Por ejemplo, los cuantificadores universal y existencial se pueden escribir de varias maneras:
  
  
  ∀x∈D P(x)    (∀x∈D) P(x)    ∀(x∈D → P(x))
  
  ∃x∈D P(x)    (∃x∈D) P(x)    ∃x(x∈D ∧ P(x))

Historia de los cuantificadores lógicos clásicos

• Aristóteles no solo inventó la lógica, sino que también introdujo el tema de la cuantificación en los “Primeros Analíticos” (el tercer libro del Organon). Fue el primero en considerar los cuantificadores lógicos en sus silogismos en lenguaje natural: todos, algún y ninguno y no todos. Estos cuantificadores no son relaciones entre elementos, sino entre conjuntos de elementos. Son, pues, relaciones de segundo orden.
  
  Los cuantificadores aristotélicos expresados en notación moderna son:
  
  

  Cuantificador	Contrario
  Todos ∀	Ninguno ¬∃
  No todos ¬∀	Alguno ∃

  
  
• Gottlob Frege inventó la lógica formal, la lógica moderna con el cálculo de predicados. En su Conceptografía de 1879 fue el primero en utilizar símbolos para los cuantificadores para ligar una variable con el dominio del discurso, variable que aparecía en los predicados. La notación de Frege para el cuantificador universal era el nombre de la variable sobre un hoyuelo contenido en una línea horizontal de sus fórmulas diagramáticas: |––∪––
  
  Frege no creó una notación explícita para la cuantificación existencial, pero utilizó su equivalente como ¬∀x ¬P(x). Frege definió diversos cuantificadores: todos, algunos, no todos, exactamente n, al menos n, etc. Frege consideraba a los cuantificadores como relaciones de segundo orden (él los denominó “conceptos de segundo nivel”). Los predicados los consideraba conceptos de primer nivel. Según Frege, la existencia es un concepto o predicado de segundo nivel y unario (o monádico) porque solo requiere un argumento.
  
  Los símbolos de Frege tenían un significado fijo, y el único dominio que consideró era la totalidad. No consideró el tema de las posibles interpretaciones o modelos.
  
  El tratamiento de Frege de la cuantificación pasó desapercibido hasta que Bertrand Russell lo dio a conocer en su obra Principles of Mathematics (1903).
  
  
• En 1855, Charles Sanders Peirce y su estudiante Oscar Howard Mitchell inventaron los conceptos de cuantificador universal y existencial. La notación que utilizaron fue Πx y ∑x para lo que ahora es ∀x y ∃x, respectivamente. También crearon los conceptos de variable ligada y variable libre.
  
  
• En 1897, Giuseppe Peano inventó otra notación: (x) para la cuantificación universal y ∃x para la existencial. La notación de Peano se difundió rápidamente y fue adoptada por Russell y Whitehead en su obra Principia Mathematica. También fue adoptada por Alonzo Church y Quine.
  
  
• En 1935, Gerhard Gentzen introdujo el símbolo ∀ por analogía con el símbolo ∃ de Peano (“A” al revés y “E” al revés, respectivamente). A partir de los años 1960s, el símbolo ∀ se convirtió en estándar de facto, aunque aún hoy se sigue utilizando también el simbolismo (x) de Peano.

Los cuantificadores generalizados

• En 1957, Andrzej Mostowski introdujo el concepto de cuantificador generalizado en la revista Fundamenta Mathematicae con su artículo “On a generalization of quantifiers”. Su teoría de los cuantificadores generalizados se enmarca dentro de la teoría de conjuntos.
  
  Mostowski generalizó el concepto de cuantificador lógico mediante condiciones relativas a las cardinalidades de los subconjuntos de un conjunto (o el universo del discurso) mediante una función unaria. Si A es el universo del discurso y B un subconjunto de A, Q_A(B) es un cuantificador Q de B sobre A, que indica la cardinalidad de B respecto de A.
  
  
  QA(B) ↔ |A∩B|Q
  
  La definición de cuantificador generalizado satisface las condiciones de invariancia: el cuantificador Q_A(B) es invariante bajo todas las permutaciones de A y de B.
  
  Ejemplos de cuantificadores generalizados son:
  
  
  (≥5)_A(B) ↔ |A∩B | ≥ 5 (subconjunto B de A de cardinalidad ≥ 5)
  
  (=3)_A(B) ↔ |A∩B | = 3 (id. de cardinalidad = 3)
  
  (par)_A(B) ↔ |A∩B | es par (id. de cardinalidad par)
  
  Los cuantificadores universal y existencial son casos particulares del concepto de cuantificador generalizado:
  
  
  ∀_A(B) ↔ |A∩B| = |B|
  ∃_A(B) ↔ |A∩B| > 0
  
  
• En 1966, Per Lindström generalizó el criterio de Mostowski al no distinguir modelos isomórficos: la verdad o la semántica de una expresión no depende de los individuos particulares de que consta. Un cuantificador Q_A(B) es invariante bajo todos los isomorfismos. También extendió los cuantificadores generalizados de Mostowski a poliádicos, y estableció una jerarquía de cuantificadores generalizados.
  
  
• En 1981, Jon Barwise y Robin Cooper publicaron “Generalized Quantifiers and Natural Language” en la revista Linguistics and Philosophy. En este artículo, sus autores proponen:
  
  
  1. Distinguir entre cuantificadores “fuertes” (todo, la mayor parte, casi todo, no todo, etc.) y cuantificadores “débiles” (ninguno, unos pocos, algunos, etc.).
     
     
  2. Distinguir entre cuantificadores referidos a nombres o frases nominales (un hombre, ninguna mujer, varias personas, etc.) y cuantificadores referidos a determinadores (uno, dos, todos, ninguno, alguno, etc.).
     
     
  3. Extender los cuantificadores generalizados de Lindström a cantidades infinitas.

MENTAL y los Cuantificadores
Propiedades intrínsecas y extrínsecas

Hay que distinguir entre dos tipos de propiedades de una entidad:

• Intrínsecas.
  Son aquellas que se deducen de la propia entidad y no de información externa. Ejemplos: abc (secuencia de longitud 3), 23 (número mayor que 0).
  
  Estas propiedades se expresan de la forma xP. Por ejemplo, (abc# = 3) y (23>0).
  
  
• Extrínsecas.
  Son aquellas que están determinadas por información externa. Son atributos, cualidades o predicados. Por ejemplo, “Pepe es hombre”.
  
  Estas propiedades se expresan de la forma x/P. Por ejemplo, Pepe/hombre.

Cuantificadores lógicos tradicionales

• Cuantificador universal. Todo elemento x de C cumple la propiedad P.
  
  ( {⟨( x ← (x∈C ∧ xP )⟩} = C ) (propiedad intrínseca P)
  
  ( {⟨( x ← (x∈C ∧ x/P )⟩} = C ) (propiedad extrínseca P)
  
  Ejemplos:
  
  
  1. Notación clásica: (∀n∈N) n≥1
     Notación MENTAL:
     ( {⟨( n ← (n∈N ∧ n≥1) )⟩} = N )
     
     
  2. Notación clásica: (∀x∈C) x es blanco.
     Notación MENTAL:
     ( {⟨( x ← (x∈C ∧ x/blanco) )⟩} = C )
  
  
• Cuantificador existencial. Algún elemento x de C cumple la propiedad P.
  
  ( {⟨( x ← (x∈C ∧ xP)) )⟩}# > 0 ) (propiedad intrínseca P)
  
  ( {⟨( x ← (x∈C ∧ x/P)) )⟩}# > 0 ) (propiedad extrínseca P)
  
  También se pueden expresar así:
  
  ( {⟨( x ← (x∈C ∧ xP)) )⟩}≠∅ ) (propiedad intrínseca P)
  
  ( {⟨( x ← (x∈C ∧ x/P)) )⟩}≠∅ ) (propiedad extrínseca P)
  
  Ejemplos:
  
  
  1. Notación clásica: (∃n∈N) n>1
     ( {⟨( n ← (n∈N ∧ n>1) )⟩}# > 0 )
     
     
  2. Notación clásica: (∃x∈C) x es blanco
     ( {⟨( x ← (x∈C ∧ x/blanco) )⟩}# > 0 )

Cuantificadores generalizados

Las expresiones de los cuantificadores universal y existencial se pueden unificar y generalizar mediante la expresión genérica auxiliar siguiente, que denota la cantidad de elementos de un conjunto C que cumplen el criterio de selección S. Un caso particular de S es una propiedad intrínseca o extrínseca.

⟨( Q(C S q) = {⟨( x ← x∈C ← S))⟩} = q )⟩

Se tiene entonces que los cuantificadores lógicos tradicionales se pueden expresar así:

(∀x∈C) P(x) como (Q(C P C#)
(∃x∈C) P(x) como Q(C P >0)

Esta notación permite expresar muchos otros cuantificadores. Por ejemplo,

1. n como máximo: Q(C P ≤n)
   
   
2. n como mínimo: Q(C P ≥n)
   
   
3. Mayor o igual que n1 y menor o igual que n2:
   Q(C P ∈{n1…n2})
   
   
4. Todos los elementos de los conjuntos A1…An tienen la propiedad P.
   
   ( Q(A1&cup:…&cup:An P (A1&cup:…&cup:An)# )
   
   
5. Al menos uno de los elementos de los conjuntos A1…An tiene la propiedad P.
   
   ( Q(A1&cup:…&cup:An P >0 )
   
   
6. Q(C P 12) (12 elementos de C tienen la propiedad P
   
   
7. Q(R r>5 ∞) (la cantidad de los números reales mayores que 5 es infinita)
   
   No distinguimos entre infinito numerable (los números naturales) e infinito no numerable (los números reales) porque el infinito es una cualidad, no una cantidad.

Reflexiones y conclusiones

• Realmente, pese a su denominación, los cuantificadores tradicionales (∀ y ∃) no hacen referencia a cantidades concretas, sino a cantidades cualitativas (todos y alguno).
  
  
• Los cuantificadores lógicos tradicionales mezclan dos conceptos que es necesario separar: la lógica y la cuantificación. La cuantificación se refiere al número de elementos de un conjunto o de un dominio que cumplen una determinada condición y que tienen una propiedad o cualidad de cardinalidad. La lógica interviene solo en el criterio de selección.
  
  En MENTAL, los cuantificadores son de carácter general y pueden aparecer en todo tipo de expresiones, no solo lógicas.
  
  
• Los símbolos de los cuantificadores lógicos (∀ y ∃) fueron inventados porque no se disponía de un lenguaje matemático formal. Las definiciones de los cuantificadores lógicos en MENTAL revelan su verdadera estructura, estructura que abre el camino a su generalización.
  
  
• La parametrización de expresiones es la vía natural para la generalización de los cuantificadores. Las expresiones de MENTAL con cuantificadores son un tipo de expresiones genéricas parametrizadas. La primitiva “Generalización” es la primitiva más importante, ya que permite definir todo desde un nivel superior: funciones, cuantificadores, modalidades lógicas, eventos, aspectos, agentes, etc., y haciendo uso del resto de las primitivas del lenguaje.
  
  Se suele afirmar que la cuantificación es un tema que conecta o enlaza lógica, lingüística, matemática, informática y filosofía. Pero la verdadera unificación reside en las expresiones genéricas, que son relaciones de orden superior.
  
  
• Las expresiones son más claras porque el ámbito del cuantificador universal está perfectamente definido por los delimitadores de expresión genérica, y las variables ligadas aparecen en negrita.
  
  
• Todas las expresiones, incluidos los predicados y los cuantificadorespueden ser modificadas en un entorno operativo dinámico.

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Adenda
El impacto de los cuantificadores generalizados

La teoría de los cuantificadores generalizados ha conducido a una nueva visión de la naturaleza de la cuantificación, y ha tenido impactos importantes en diversos campos:

• En el desarrollo de la lógica matemática, al proporcionar un poder expresivo superior a la cuantificación estándar de primer orden.
  
  
• Ha conducido a la creación de un nuevo campo: la lógica teórica de modelos (model-theoretic logic).
  
  
• Ha aportado soluciones a problemas filosóficos, como el tema del lenguaje ideal.
  
  
• Ha producido un acercamiento entre la lógica matemática y la lingüística, entre la semántica del lenguaje lógico formal y la semántica del lenguaje natural.

En MENTAL, la cuantificación generalizada es un tema que afecta a todas las ciencias formales: matemáticas, informática, lógica, lingüística, etc.


La analogía entre los cuantificadores y los operadores lógicos modales

Existe una analogía entre los cuantificadores (∀ y ∃) y los operadores modales de necesidad (□) y posibilidad (♢):

Operadores modales	Cuantificadores
Es necesario que x: □x	Todo x: ∀x
Es posible que x: ♢x	Existe x: ∃x
□x ≡ ¬♢¬x	∀x P(x) ≡ ¬∃x ¬P(x)

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